Nombres de Fermat et infinité des nombres premiers

Énoncé

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , on note \(F_n=2^{2^n}+1\) . La suite \((F_n)\) est appelée suite des nombres de Fermat.

1. Calculer \(F_0\) et \(F_1\) .

2. Démontrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^\ast\) , \(F_n-2=F_0 \times F_1 \times F_2 \times ... \times F_{n-1}\) .

3. En écrivant la division euclidienne de \(F_n\) par \(F_m\) (avec \(n>m\) ), démontrer que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.

4. Donner une nouvelle preuve de l'existence d'une infinité de nombres premiers.